Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\) Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {\sqrt {{x^3}}  + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{\left( {\sqrt {{x^3}} } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {{3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{{{3\left( {n\, - \,k} \right)} \over 2}}}.{x^{ - \,{{2k} \over 3}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{{{3n} \over 2} - {{13k} \over 6}}}.\)

Suy ra tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là \({3^0}.C_n^0 + {3^1}.C_n^1 + {3^2}.C_n^2 = 631\).

\( \Leftrightarrow 1 + 3n + {{9n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = 631 \Rightarrow n = 12.\) Khi đó \({\left( {\sqrt {{x^3}}  + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.3^k}.{x^{18\, - \,{{13k} \over 6}}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(18 - {{13k} \over 6} = 5 \Leftrightarrow k = 6\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_{12}^6{.3^6}.\)

Chọn D