Phương pháp giải:

- Sử dụng kiến thức đường trung bình của tam giác

- Điểm thuộc đường thẳng

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường trung trực của AB là \(d:y = mx + n\) và  \(MN:y = ax + b\)

Ta có N thuộc  \(MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  - b\)

M thuộc  \(MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  - 2\)

Do đó  \(MN:y =  - 2{\rm{x}} + 2\)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA của tam giác ABC nên MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AB\)

Vì d là đường trung trực của AB nên \(BC \bot MN \Rightarrow m( - 2) =  - 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow d:y = {1 \over 2}x + n\)

Vì P là trung điểm của AB nên d  đi qua P

\( \Rightarrow  - 1 = {1 \over 2}( - 1) + n \Leftrightarrow n =  - {1 \over 2}\)

Vậy trung trực của AB là : \(y = {1 \over 2}x - {1 \over 2}\)

Chọn D.