Phương pháp giải:

+ Vẽ thêm N là trung điểm của AH.

+ Ta chứng minh MH//IN, KH//IN, từ đó suy ra M, H, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên:  \(EI = IM = IA = {1 \over 2}AM\)

Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: \(\widehat {EIM} = 2\widehat {EAI}\) (góc ngoài của tam giác).

Chứng minh tương tự với tam giác vuông  ta có:  \(\widehat {MID} = 2\widehat {IAD},DI = {1 \over 2}AM\)

Do đó:

\(EI = DI\,\,\left( { = {1 \over 2}AM} \right);\,\,\,\widehat {EID} = \widehat {EIM} + \widehat {MID} = 2\left( {\widehat {EAI} + \widehat {IAD}} \right) = 2\widehat {EAD} = {60^0}\)

Tam giác IED cân (vì EI = DI) có \(\widehat {EID} = {60^0}\) nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.

Tương tự  tam giác IDF đều suy ra ID = DF = IF.

Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.

Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.

Gọi N là trung điểm của AH.

Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.

Do đó AN = NH = HD.

Ta có : MH // IN ( vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN(vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).

Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – Clit) nên M, H, K thẳng hàng.