Phương pháp giải:

Hoành độ giao điểm của \(y=f\left( x,m \right)\) và \(y=ax+b\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x,m \right)=ax+b.\) Tìm điều kiện của \(m\) để hệ này có nghiệm. Dùng định lý Vi-et để tính độ dài giữa hai giao điểm. Sử dụng giả thiết để đưa ra một phương trình cho ẩn \(m,\) giải phương trình này để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C}_{m}} \right)\) và đường thẳng là

\(\frac{{mx - 1}}{{x + 2}} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx - 1 = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\x \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - \left( {m - 3} \right)x - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\\x \ne  - 2\end{array} \right.\,.\,\)

Ta có \(\Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4.2.\left( -1 \right)={{\left( m-3 \right)}^{2}}+4>0\)nên phương trình \(\left( 1 \right)\) đã cho có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm này là \({{x}_{1}},{{x}_{2}}.\) Ta có \(2.{{\left( -2 \right)}^{2}}-\left( m-3 \right).\left( -2 \right)-1=0\Leftrightarrow 8+2m-6-1=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}.\) Do đó để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt và khác \(-2\) thì \(m\ne -\frac{1}{2}.\) Giả sử \(A\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}-1 \right),\,B\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}-1 \right)\) là hai giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Khi đó ta có

\(A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( 2{{x}_{1}}-1 \right)-\left( 2{{x}_{2}}-1 \right) \right]}^{2}}=5{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=5{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-20{{x}_{1}}{{x}_{2}}\,\,\left( 2 \right).\)

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m-3}{2},\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được

\(10=5{{\left( \frac{m-3}{2} \right)}^{2}}-20.\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}{{\left( m-3 \right)}^{2}}+10\Leftrightarrow m=3\ne -\frac{1}{2}.\)

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m=3.\)

Chọn đáp án C.