Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức: ĐKXĐ của phân thức; cộng, trừ phân thức đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và thu gọn.

b) Phương pháp giải:

+) Xét xem giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu x thỏa mãn thì thay giá trị của x vào biểu thức P vừa rút gọn được và tính giá trị biểu thức.

c) Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ của P.

+) Tách B về dạng \(P=a+\frac{b}{MS},\,\,a,\,\,b\in Z.\)

+) Đề \(P\in Z\) thì \(\frac{b}{MS}\in Z\Leftrightarrow MS\in U\left( b \right).\)

+) Tìm U(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.

+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

a) ĐK: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 \ne 0\\x + 4 \ne 0\\1 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{10x}}{{{x^2} + 3x - 4}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 4}} + \frac{{x + 1}}{{1 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{10x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 4}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{10x - (2x - 3)(x - 1) - (x + 1)(x + 4)}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{10x - 2{x^2} + 2x + 3x - 3 - {x^2} - 4x - x - 4}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 3{x^2} + 10x - 7}}{{(x - 1)(x + 4)}} = - \frac{{ - (x - 1)(3x - 7)}}{{(x - 1)(x + 4)}} = \frac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}.\end{array}\)

b) 

Ta có:  \(P=\frac{-3x+7}{x+4}\)

Khi \(x=-1(t/m)\Rightarrow P=\frac{-3.(-1)+7}{-1+4}=\frac{10}{3}\)

Vậy khi \(x=-1\) thì \(P=\frac{10}{3}.\)

c)

\(P+1=\frac{-3x+7}{x+4}+1=\frac{-3x+7+x+4}{x+4}=\frac{-2x+11}{x+4}=-2+\frac{19}{x+4}\)

\(x\in Z\) để \(P+1\in Z\Rightarrow \left( x+4 \right)\in U\left( 19 \right)=\left\{ \pm 1;\,\pm 19 \right\}\)

Vậy \(x\in \left\{ -25;-5;-3;15 \right\}\)thì \(P+1\in Z\).