Phương pháp giải:

Sử dụng các đẳng thức sau:

A. \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\)

B. \(\left( {k - 1} \right)kC_n^k = \left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2}\)

C. \({k^2}C_n^k = \left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}\)

D. \({{C_n^k} \over {k + 1}} = {{C_{n + 1}^{k + 1}} \over {n + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Với đáp án A, ta sử dụng đẳng thức \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\)

Khi đó ta có: \({S_1} = 1C_n^1 + 2C_n^2 + ... + \left( {n - 1} \right)C_n^{n - 1} + nC_n^n = \sum\limits_{k = 0}^n {kC_n^k} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}}  = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right) = n{\left( {1 + 1} \right)^{n - 1}} = n{.2^{n - 1}}\)

Vậy A đúng.

Với đáp án B ta sẽ dùng đẳng thức \(\left( {k - 1} \right)kC_n^k = \left( {k - 1} \right)nC_{n - 1}^{k - 1} = n\left[ {\left( {k - 1} \right)C_{n - 1}^{k - 1}} \right] = \left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2}\)

Khi đó ta có: \({S_2} = 1.2C_n^2 + 2.3.C_n^3 + ... + \left( {n - 1} \right)nC_n^n = \sum\limits_{k = 2}^n {\left( {k - 1} \right)kC_n^k}  = \sum\limits_{k = 2}^n {\left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2}} \)

\( = \left( {n - 1} \right)n\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + C_{n - 2}^2 + ... + C_{n - 2}^{n - 3} + C_{n - 2}^{n - 2}} \right) = \left( {n - 1} \right)n{\left( {1 + 1} \right)^{n - 2}} = \left( {n - 1} \right)n{2^{n - 2}}.\)

Vậy B đúng.

Với đáp án C: Ta có: \({k^2}C_n^k = k\left( {k - 1} \right)C_n^k + kC_n^k = \left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}\)

Khi đó ta có \({S_3} = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {\left( {n - 1} \right)^2}C_n^{n - 1} + {n^2}C_n^n = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}C_n^k} \)

\(\eqalign{  &  = \sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}} \right]}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2}}  + \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}}   \cr   &  = \left( {n - 1} \right)n\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + ... + C_{n - 2}^{n - 2}} \right) + n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)  \cr   &  = \left( {n - 1} \right)n{\left( {1 + 1} \right)^{n - 2}} + n{\left( {1 + 1} \right)^{n - 1}} = \left( {n - 1} \right)n{2^{n - 2}} + n{2^{n - 1}} = n{2^{n - 2}}\left( {n - 1 + 2} \right) = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}} \cr} \)

Vậy C đúng.

Với đáp án D ta sử dung đẳng thức \(\left( {k + 1} \right)C_{n + 1}^{k + 1} = \left( {n + 1} \right)C_n^k \Rightarrow {{C_n^k} \over {k + 1}} = {{C_{n + 1}^{k + 1}} \over {n + 1}}\)

Khi đó ta có: \({S_4} = {{C_n^0} \over 1} + {{C_n^1} \over 2} + {{C_n^2} \over 3} + ... + {{C_n^{n - 1}} \over n} + {{C_n^n} \over {n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{C_n^k} \over {k + 1}}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {{{C_{n + 1}^{k + 1}} \over {n + 1}}} \)

\( = {1 \over {n + 1}}\left( {C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^2 + ...C_{n + 1}^{n + 1}} \right) = {1 \over {n + 1}}\left[ {{{\left( {1 + 1} \right)}^{n + 1}} - C_{n + 1}^0} \right] = {1 \over {n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)\)

Vậy đáp án D sai.

Chọn D.