Phương pháp giải:

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.- Khi đó, với mọi x.- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y  \cr &  \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17  \cr &  \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17  \cr &  \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17. \cr} \)

Vì \(\left\{ \matrix{{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr {\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr}  \right.\) với mọi x nên  \(A \ge  - 17\) với mọi x.

\( \Rightarrow A =  - 17 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - y + 1 = 0 \hfill \cr y - 4 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = y - 1 \hfill \cr  y = 4 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)