Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

Khử dạng vô định \(\infty -\infty \):

 - Trục căn thức \(f\left( x \right)=\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}-2x=\frac{3x+1}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}\)

- Chia cả tử và mẫu của \(f\left( x \right)\) cho \(x\) rồi cho \(x\to +\infty \).Cách giải:

\(\begin{align} & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}-2x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}-2x \right)\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x \right)}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x} \\ & =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}+3x+1-{{\left( 2x \right)}^{2}}}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3+\frac{1}{x}}{\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+2}=\frac{3}{\sqrt{4}+2}=\frac{3}{4} \\ \end{align}\)

Chọn D.