Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\).

Và áp dụng công thức của tỉ lệ thức: \(a:b:c = x:y:z \Rightarrow \left\{ \matrix{  {a \over b} = {x \over y} \hfill \cr   {a \over c} = {x \over z} \hfill \cr   {b \over c} = {y \over z} \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  x + 1 \ge y \ge 0 \hfill \cr   x \ge y + 1 \ge 0 \hfill \cr   x \ge y - 1 \ge 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y \ge 1 \hfill \cr   x \ge y + 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y \ge 1 \hfill \cr   x \ge 2 \hfill \cr}  \right.\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)

\(\eqalign{  & C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2 \Rightarrow \left\{ \matrix{  {{C_{x + 1}^y} \over {C_x^{y + 1}}} = {6 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr   {{C_{x + 1}^y} \over {C_x^{y - 1}}} = {6 \over 2} = 3\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.  \cr   & \left( 1 \right) \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)!} \over {y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}} \over {{{x!} \over {\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}}} = {6 \over 5}  \cr   &  \Leftrightarrow {{\left( {x + 1} \right)!} \over {y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}.{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!} \over {x!}} = {6 \over 5}  \cr   &  \Leftrightarrow {{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \over {\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = {6 \over 5}\,\,\,\left( 3 \right)  \cr   & \left( 2 \right) \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)!} \over {y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}} \over {{{x!} \over {\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}}} = 3  \cr   &  \Leftrightarrow {{\left( {x + 1} \right)!} \over {y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!} \over {x!}} = 3  \cr   &  \Leftrightarrow {{x + 1} \over y} = 3 \Rightarrow x = 3y - 1 \cr} \).

Thay vào (3) ta có:

\(\eqalign{  & {{3y\left( {y + 1} \right)} \over {\left( {2y - 1} \right)2y}} = {6 \over 5}  \cr   &  \Leftrightarrow {{y + 1} \over {4y - 2}} = {2 \over 5} \Leftrightarrow 5y + 5 = 8y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 3y = 9 \Leftrightarrow y = 3\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow x = 8\,\,\left( {tm} \right)  \cr   &  \Rightarrow x + y = 11 \cr} \).

Chọn C.