Câu hỏi
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên R. Đặt \(S\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và \(P\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right)\).
Xét các mệnh đề:
i. Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn
Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn
iii. Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ
Số mệnh đề đúng là:
- A 1
- B 2
- C 3
- D Tất cả đều sai
Phương pháp giải:
Xét hàm số \(y=f\left( x \right)\) có tập xác định là D.
+) Nếu \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\) và \(f\left( -x \right)=f\left( x \right)\Rightarrow \) Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
+) Nếu \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\) và \(f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow \) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Lời giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết
Xét mệnh đề i):
\(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\,g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R\)
Suy ra \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow S\left( x \right)=S\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\)
\(f\left( x \right)g\left( x \right)=f\left( -x \right)g\left( -x \right),\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow P\left( x \right)=P\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\)
Do đó \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn.
Vậy mệnh đề i) đúng.
Xét mệnh đề ii):
\(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \( - f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\, - g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R\)
Suy ra \(-\left( f\left( x \right)+g\left( x \right) \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -S\left( x \right)=S\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\) do đó \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Lại có \(f\left( x \right)g\left( x \right)=f\left( -x \right)g\left( -x \right),\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow P\left( x \right)=P\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\) nên \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
Vậy mệnh đề ii) đúng.
Xét mệnh đề iii):
\(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\, - g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R\)
Suy ra \(-f\left( x \right)g\left( x \right)=f\left( -x \right)g\left( -x \right),\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -P\left( x \right)=P\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\) nên \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Vậy mệnh đề iii) đúng.
Vậy số mệnh đề đúng là \(3\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
