Phương pháp giải:

TH1: \(\left( d \right)\bot \left( {{d}_{1}} \right)\).

TH2: \(\left( d \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{  y = x - 1 \hfill \cr   y = 4x - 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = {1 \over 3} \hfill \cr   y =  - {2 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M\left( {{1 \over 3}; - {2 \over 3}} \right)\).

Thấy rằng hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) không vuông góc với nhau nên đường thẳng (d) cần xác đinh phải vuông góc với một trong hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng \(y = ax + b\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

TH1: Đường thẳng (d) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) suy ra \(a.1 =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 1\) hay (d) có dạng y = – x + b .

Thay tọa độ điểm\(A\left( {1;\,\,1} \right)\) vào (d) suy ra b = 2. Khi đó, (d): y = – x + 2.

Thấy rằng (d) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại điểm \(N\left( {{4 \over 5};\,\,{6 \over 5}} \right)\).

TH2: Đường thẳng (d) vuông góc với \(\left( {{d_2}} \right)\) suy ra \(a =  - {1 \over 4}\) hay hay (d) có dạng \(y =  - {1 \over 4}x + b\).

Thay tọa độ điểm\(A\left( {1;\,\,1} \right)\) vào (d)  suy ra \(b = {5 \over 4}\). Khi đó,  \(\left( d \right):\,\,\,y =  - {1 \over 4}x + {5 \over 4}\).

Thấy rằng (d) cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) tại điểm \(P\left( {{9 \over 5};\,\,{4 \over 5}} \right)\).

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn \(\left( d \right):\,\,\,y =  - x + 2;\,\,\left( d \right):\,\,\,y =  - {1 \over 4}x + {5 \over 4}\).

Chọn C.