Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 12x + 1 \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2 + \sqrt 3 \\0 \le x \le 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\(3x + 1 + \sqrt {9{x^2} - 12x + 1} \ge 3\sqrt {3x} \)

\( \Leftrightarrow 6x + 2 + 2\sqrt {9{x^2} - 12x + 1} \)\( - 6\sqrt {3x} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 6x - 5\sqrt {3x} + 2\)\( + \left( {2\sqrt {9{x^2} - 12x + 1} - \sqrt {3x} } \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 2.{\left( {\sqrt {3x} } \right)^2} - 5.\sqrt {3x} + 2\)\( + \dfrac{{36{x^2} - 51x + 4}}{{2\sqrt {9{x^2} - 12x + 1} + \sqrt {3x} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x} - 2} \right)\left( {2\sqrt {3x} - 1} \right)\)\( + \dfrac{{\left( {3x - 4} \right)\left( {12x - 1} \right)}}{{2\sqrt {9{x^2} - 12x + 1} + \sqrt {3x} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {3x - 4} \right)\left( {12x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {3x} + 2} \right)\left( {2\sqrt {3x} + 1} \right)}}\)\( + \dfrac{{\left( {3x - 4} \right)\left( {12x - 1} \right)}}{{2\sqrt {9{x^2} - 12x + 1} + \sqrt {3x} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x - 4} \right)\left( {12x - 1} \right) \ge 0\) (1)

Vì \(\dfrac{1}{{\left( {\sqrt {3x} + 2} \right)\left( {2\sqrt {3x} + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{2\sqrt {9{x^2} - 12x + 1} + \sqrt {3x} }} > 0\)

(1)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{4}{3}\\x \le \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.\)kết hơp với điều kiện ta được: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 2 + \sqrt 3 \\0 \le x \le \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left[ {0;\dfrac{1}{{12}}} \right] \cup \left[ {2 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)\).