Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\P = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\P = \dfrac{{8\sqrt x  - 4x + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  - 1 - 2\sqrt x  + 4}}\\P = \dfrac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\P = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{2 + \sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\\P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}\)

Vậy  \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\)với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Với điều kiện bài cho, rút gọn biểu thức và tìm điều kiện của \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 9.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,m\left( {\sqrt x  - 3} \right).P > x + 1\,\,\,\,\,\forall x > 9\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} > x + 1\,\,\,\,\,\forall x > 9\\ \Leftrightarrow 4mx > x + 1\,\,\,\,\,\forall x > 9\\ \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x > 1\,\,\,\,\,\forall x > 9\\ \Leftrightarrow 4m - 1 > \dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,\forall x > 9\end{array}\)

Vì \(x > 9\) nên \(\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{9}\).

Do đó \(4m - 1 > \dfrac{1}{x}\,\,\forall x > 9\) thì \(4m - 1 \ge \dfrac{1}{9}\)\( \Leftrightarrow 4m \ge \dfrac{{10}}{9}\) \( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{{18}}\).

Vậy \(m \ge \dfrac{5}{{18}}\).

Chọn D.