Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' =  - {x^2} + 4x + m - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 + m - 1 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 3\\16 - 4 + 4m = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 3\\m =  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \dfrac{3}{4}\).

Chọn A.