Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA\) vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(AB = BC = a,\)\(AD = 2a,\)\(SA = x\). Tìm \(x\) theo \(a\) để số đo góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(30^\circ \).
- A \(x = a\sqrt 2 \)
- B \(x = a\sqrt 6 \)
- C \(x = 2a\)
- D \(x = a\sqrt 3 \)
Phương pháp giải:
Chứng minh \(AC \bot CD\).
Tìm \(\angle SCA \Rightarrow \) quan hệ giữa x và a.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\), ta có \(AB = BC = AE = a,\,\,BC\parallel AE,\,\,\angle ABC = {90^0}\) \( \Rightarrow ABCE\) là hình vuông.
\( \Rightarrow CE = a = \dfrac{1}{2}AD\) \( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\)
Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow SH\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SH} \right) = \angle ASH = \angle ASC = {30^0}\).
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(AC = a\sqrt 2 \) (do \(ABCE\) là hình vuông cạnh \(a\))
\( \Rightarrow SA = x = AC.\cot {30^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 \).
Chọn B.
Câu hỏi trước
