Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {{e^x} - x - 1} \right)f'\left( {{e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2}} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} - x - 1 = 0\\f'\left( {{e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2}} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {e^x} - x - 1\) trên  ta có \(h'\left( x \right) = {e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\), qua nghiệm này \(h\left( x \right)\) không đổi dấu nên đây là nghiệm kép.

Dựa vào đồ thị hàm số  ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị \(x =  - 2,\,\,x = 1,\,\,x = 4\).

\( \Rightarrow f'\left( {{e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2} =  - 2\\{e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2} = 1\\{e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2} = 4\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(l\left( x \right) = {e^x} - \dfrac{{{x^2} + 2x}}{2}\) ta có \(l'\left( x \right) = {e^x} - x - 1 = h\left( x \right)\), dựa vào BBT ta thấy \(l'\left( x \right) = h\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), \(l'\left( x \right) = h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

BBT:

Do đó mỗi phương trình \(l\left( x \right) =  - 2,\,\,l\left( x \right) = 1,\,\,l\left( x \right) = 4\) có 1 nghiệm duy nhất, trong đó phương trình \(l\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt đều là các nghiệm bội lẻ.

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

Chọn A.