Lời giải chi tiết:

Vì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {3;9} \right)\) nên hàm số có dạng

\(f\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + {x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{4 - 1}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) = y - 1 \Leftrightarrow y = 3x - 2\).

Phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(\dfrac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{9 - 1}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right) = y - 1 \Leftrightarrow y = 4x - 3\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\dfrac{{x - 2}}{{3 - 2}} = \dfrac{{y - 4}}{{9 - 4}} \Leftrightarrow 5\left( {x - 2} \right) = y - 4 \Leftrightarrow y = 5x - 6\).

Gọi \(M\left( {m;3m - 2} \right) \in AB\,\,\left( {m \ne 1;2} \right)\), \(N\left( {n;4n - 3} \right) \in AC\,\,\left( {n \ne 1;3} \right)\), \(P\left( {p;5p - 6} \right) \in BC\,\,\left( {p \ne 2;3} \right)\). Theo bài ra ta có \(m + n + p = 5\).

Vì \(M,\,\,N,\,\,P \in f\left( x \right)\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3m - 2 = a\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) + {m^2}\\4n - 3 = a\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + {n^2}\\5p - 6 = a\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) + {p^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) + {m^2} - 3m + 2 = 0\\a\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + {n^2} - 4n + 3 = 0\\a\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) + {p^2} - 5p + 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\\a\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) + \left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right) = 0\\a\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) + \left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {am - 3a + 1} \right) = 0\\\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {an - 2a + 1} \right) = 0\\\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right)\left( {ap - a + 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}am - 3a + 1 = 0\,\,\left( {do\,\,m \ne 1;2} \right)\\an - 2a + 1 = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,n \ne 1;3} \right)\\ap - a + 1 = 0\,\,\,\,\left( {do\,\,p \ne 2;3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{3a - 1}}{a} = 3 - \dfrac{1}{a}\\n = \dfrac{{2a - 1}}{a} = 2 - \dfrac{1}{a}\\p = \dfrac{{a - 1}}{a} = 1 - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,m + n + p = 5\\ \Rightarrow 3 - \dfrac{1}{a} + 2 - \dfrac{1}{a} + 1 - \dfrac{1}{a} = 5\\ \Leftrightarrow 6 - \dfrac{3}{a} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(f\left( 0 \right) =  - 6a =  - 6.3 =  - 18\).

Chọn B.