Phương pháp giải:

- Xác đinh thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IMN} \right)\).

- Phân chia khối đa diện, cùng so sánh với \({V_{S.ABCD}}\).

- Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\), so sánh thể tích phần chứa đỉnh \(S\) với \({V_{S.ABCD}}\), lập và giải phương trình tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(SC \cap \left( {IMN} \right) = \left\{ P \right\}\) \( \Rightarrow \left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IP\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IP\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\end{array} \right. \Rightarrow IP\parallel MN\parallel AC\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(\left\{ E \right\} = MN \cap CD\), trong \(\left( {SCD} \right)\) goji \(Q = NP \cap SD\).

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNI} \right)\) là ngũ giác \(IMNPQ\).

Gọi \({V_1} = {V_{S.BMNPQI}},\,\,V = {V_{S.ABCD}}\), theo bài ra ta có \({V_1} = \dfrac{7}{{32}}V\).

Ta có \({V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.IMN}} + {V_{S.INP}} + {V_{S.IPQ}}\).

Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\), áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = x\).

- Xét khối chóp \(S.BMN\) và \(S.ABCD\):

  + Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\)).

  + \({S_{BMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{8}{S_{ABC}}\) (do tam giác \(BMN\) và tam giác \(BAC\) đồng dạng theo tỉ số \(\dfrac{1}{2}\))

Do đó \({V_{S.BMN}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{8}V\).

- Xét khối chóp \(S.IMN\) và \(S.AMN\):

   \(\dfrac{{{V_{S.IMN}}}}{{{V_{S.AMN}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} = x \Rightarrow {V_{S.IMN}} = x.{V_{S.AMN}}\).

Ta có \({S_{AMN}} = {S_{BMN}} = \dfrac{1}{8}{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{8}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IMN}} = \dfrac{x}{8}V\).

- Xét khối chóp \(S.INP\) và \(S.ANC\):

   \(\dfrac{{{V_{S.INP}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = {x^2} \Rightarrow {V_{S.IMN}} = {x^2}.{V_{S.ANC}}\).

Ta có \({S_{ANC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{S.ANC}} = \dfrac{1}{4}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IMN}} = \dfrac{{{x^2}}}{4}V\).

- Xét khối chóp \(S.IPQ\) và \(S.ACD\): \(\dfrac{{{V_{S.IPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}}\).

Ta có \(AMEC\) là hình bình hành nên \(EC = AM = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{ED}} = \dfrac{1}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SCD\) với cát tuyến \(EPQ\) ta có:

\(\dfrac{{PS}}{{PC}}.\dfrac{{EC}}{{ED}}.\dfrac{{QD}}{{QS}} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{{QD}}{{QS}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{QD}}{{QS}} = \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{x} \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{QD}} = \dfrac{x}{{3\left( {1 - x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SQ + QD}} = \dfrac{x}{{x + 3\left( {1 - x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{x}{{3 - 2x}}\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{{V_{S.IPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = {x^2}.\dfrac{x}{{3 - 2x}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}\)\( \Rightarrow {V_{S.IPQ}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}{V_{S.ACD}}\).

Mà \({S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IPQ}} = \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}}V\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.IMN}} + {V_{S.INP}} + {V_{S.IPQ}}\\ \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{8}V + \dfrac{x}{8}V + \dfrac{{{x^2}}}{4}V + \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}}V\\ \Rightarrow {V_1} = \left( {\dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}}} \right)V = \dfrac{7}{{32}}V\\ \Rightarrow \dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}} = \dfrac{7}{{32}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 + x + 2{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}} = \dfrac{7}{{16}}\\ \Leftrightarrow \left( {1 + x + 2{x^2}} \right).\left( {12 - 8x} \right) + 16{x^3} = 7\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 12 + 12x + 24{x^2} - 8x - 8{x^2} - 16{x^3} + 16{x^3} = 21 - 14x\\ \Leftrightarrow 16{x^2} + 18x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{8}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{IS}}{{IA}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{5}{3}\).

Chọn A.