Câu hỏi
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,AD = \dfrac{4}{3}a.\) Biết \(A'\) cách đều các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) và cạnh bên \(AA' = a.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {61} }}{{27}}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{9}\)
- C \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt {11} }}{{27}}\)
- D \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt {11} }}{9}\)
Phương pháp giải:
- Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(A'O \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago tính \(A'O\).
- Tính thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'O.{S_{ABCD}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Theo bài ra ta có: Điểm \(A'\) cách đều các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) nên \(A'O \bot \left( {ABC} \right)\) hay \(A'O \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow A'O \bot AO \Rightarrow \Delta A'AO\) vuông tại \(O\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{16{a^2}}}{9}} = \dfrac{{5a}}{3}\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{5a}}{6}\).
\( \Rightarrow A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{25{a^2}}}{{36}}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{6}\).
\({S_{ABCD}} = AB.AD = a.\dfrac{4}{3}a = \dfrac{{4{a^2}}}{3}\).
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'O.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{6}.\dfrac{{4{a^2}}}{3} = \dfrac{{2\sqrt {11} {a^3}}}{9}\).
Chọn D.
Câu hỏi trước
