Phương pháp giải:

Xét 2 trường hợp \(m = 0\) và \(m \ne 0\).

- TH1: \(m = 0\), thay \(m\) vào hàm số và xét xem hàm số có thỏa mãn đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) hay không.

- TH1: \(m \ne 0\), tìm TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) của hàm số. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\{x_0} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

TH1: \(m = 0\), khi đó hàm số trở thành \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{2}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\), do đó \(m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\), hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{mx + 2}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{2}{m}} \right\}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2 - m}}{{{{\left( {mx + 2} \right)}^2}}}\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\ - \dfrac{2}{m} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m > 0\\\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{2}{m} \le 0\\ - \dfrac{2}{m} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\ - 2 \le m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Kết hợp 2 trường hợp suy ra \(m \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Lại có \( \Rightarrow S = \left\{ {m \in \mathbb{Z}|m \in \left[ { - 2;2} \right)} \right\} = \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy tổng của tất cả các phần tử trong tập hợp \(S\) bằng \( - 2 - 1 + 0 + 1 =  - 2\).

Chọn B.