Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta có 1 phương trình.

Phép chia có dư, đồng nhất hệ số với \( - 2x + 1\) ta được 2 phương trình.

Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn ta được \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Lời giải chi tiết:

Để \(a{x^3} + b{x^2} + c\) chia hết cho \(x - 1\) thì \(a + b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để \(a{x^3} + b{x^2} + c\) chia cho \({x^2} + 2\) dư \( - 2x + 1\) thì \( - 2ax + 2b + c =  - 2x + 1\,\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a =  - 2\\2b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2b + c = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\1 + b + c = 0\\2b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 1 - b\\2b - 1 - b = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 1 - b\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c =  - 3\end{array} \right.\) hay đa thức bị chia là \({x^3} + 2{x^2} - 3.\)

Chọn D.