Câu hỏi

Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết BC=a3ABC=300, cạnh bên AA=a. Gọi M là điểm thỏa mãn 2CM=3CC. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC)(ABM), khi đó sinα có giá trị bằng:

  • A 6622
  • B 48122
  • C 322
  • D 41822

Phương pháp giải:

- Chứng minh ((ABC);(ABM))=((BCN);(BMN)).

- Trong (ABC) kẻ CHBN, chứng minh ((BCN);(BMN))=(CH;MH).

- Sử dụng diện tích tam giác và định lí Cosin trong tam giác tính CH.

- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính sinα.

Lời giải chi tiết:

Trong (ACCA) gọi N=AMAC , khi đó ta có (ABM)(BMN), lại có (ABC)(BCN).

((ABC);(ABM))=((BCN);(BMN)).

Trong (ABC) kẻ CHBN, ta có: {BNCHBNCMBN(CMH)BNMH.

{(BCN)(BMN)=BNCH(BCN),CHBNMH(BMN),MHBN((BCN);(BMN))=(CH;MH)=CHM=α.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: CNAC=MCMC=13=CNAC.

SNBCSABC=NCAC=13SNBC=13.SABC.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

 cosABC=AB2+BC2AC22AB.BCcos300=3a22.AB.a33a.AB=3a2AB=a=AC,AN=23AC=2a3SABC=12AB.AC.sinBAC=12.a.a.sin1200=a234SNBC=13SABC=a2312

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABN ta có:

BN2=AB2+AN22AB.AN.cosBANBN2=a2+(2a3)22.a.2a3.cos1200BN2=19a29BN=a193

Lại có SNBC=12CH.BNCH=2SNBCBN=a5738.

Ta có MC=12CC=a2.

MC(ABC)MCCHΔMCH vuông tại C.

Áp dụng định lí Pytago ta có: MH=MC2+CH2=a24+3a276=a41838.

Vậy sinα=sinCHM=MCMH=a2:a41838=41822.  

Chọn D.


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay