Câu hỏi
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết BC=a√3 và ∠ABC=300, cạnh bên AA′=a. Gọi M là điểm thỏa mãn 2→CM=3→CC′. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB′M), khi đó sinα có giá trị bằng:
- A √6622
- B √48122
- C √322
- D √41822
Phương pháp giải:
- Chứng minh ∠((ABC);(AB′M))=∠((B′C′N);(B′MN)).
- Trong (A′B′C′) kẻ C′H⊥B′N, chứng minh ∠((B′C′N);(B′MN))=∠(C′H;MH).
- Sử dụng diện tích tam giác và định lí Cosin trong tam giác tính C′H.
- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính sinα.
Lời giải chi tiết:
Trong (ACC′A′) gọi N=AM∩A′C′ , khi đó ta có (AB′M)≡(B′MN), lại có (ABC)∥(B′C′N).
⇒∠((ABC);(AB′M))=∠((B′C′N);(B′MN)).
Trong (A′B′C′) kẻ C′H⊥B′N, ta có: {B′N⊥C′HB′N⊥C′M⇒B′N⊥(C′MH)⇒B′N⊥MH.
{(B′C′N)∩(B′MN)=B′NC′H⊂(B′C′N),C′H⊥B′NMH⊂(B′MN),MH⊥B′N⇒∠((B′C′N);(B′MN))=∠(C′H;MH)=∠C′HM=α.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: C′NAC=MC′MC=13=C′NA′C′.
⇒SNB′C′SA′B′C′=NC′A′C′=13⇒SNB′C′=13.SA′B′C′.
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác A′B′C′ ta có:
cos∠A′B′C′=A′B′2+B′C′2−A′C′22A′B′.B′C′⇔cos300=3a22.A′B′.a√3⇔3a.A′B′=3a2⇔A′B′=a=A′C′,A′N=23A′C′=2a3⇒SA′B′C′=12A′B′.A′C′.sin∠B′A′C′=12.a.a.sin1200=a2√34⇒SNB′C′=13SA′B′C′=a2√312
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác A′B′N ta có:
B′N2=A′B′2+A′N2−2A′B′.A′N.cos∠B′A′NB′N2=a2+(2a3)2−2.a.2a3.cos1200B′N2=19a29⇒B′N=a√193
Lại có SNB′C′=12C′H.B′N⇒C′H=2SNB′C′B′N=a√5738.
Ta có MC′=12CC′=a2.
MC′⊥(A′B′C′)⇒MC′⊥C′H⇒ΔMC′H vuông tại C′.
Áp dụng định lí Pytago ta có: MH=√MC′2+C′H2=√a24+3a276=a√41838.
Vậy sinα=sin∠C′HM=MC′MH=a2:a√41838=√41822.
Chọn D.