Phương pháp giải:

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng hình bình hành \(ADBE\), chứng minh \(d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {B;\left( {SAE} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HI\parallel AC\) (\(I\) thuộc phần ko dài của \(AE\)), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\), chứng minh \(d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) = HK\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SH \bot AD\) (do tam giác \(SAD\) đều).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng hình bình hành \(ADBE\), ta có \(BD\parallel AE \Rightarrow BD\parallel \left( {SAE} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SAE} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAE} \right)} \right)\).

Lại có \(DH \cap \left( {SAE} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D;\left( {SAE} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)}} = \dfrac{{DA}}{{HA}} = 2\).

\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAE} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\). Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HI\parallel AC\) (\(I\) thuộc phần ko dài của \(AE\)), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\) ta có: 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot IH\\AI \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow AI \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AI\\HK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow HK \bot \left( {SAE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Vì \(AC \bot BD,\,\,BD\parallel AE \Rightarrow AC \bot AE\) \( \Rightarrow \angle CAI = {90^0}\), mà \(AC\) là phân giác của \(\angle BAD\) \( \Rightarrow \angle CAD = {45^0}\).

\( \Rightarrow \angle IAH = {45^0} \Rightarrow \Delta IAH\) vuông cân tại \(I\).

\( \Rightarrow IH = \dfrac{{AH}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\).

Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a \Rightarrow SD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHI\) ta có:

\(HK = \dfrac{{SH.IH}}{{\sqrt {S{H^2} + I{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {SA;BD} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Chọn A.