Phương pháp giải:

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

- Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc.

- Giải phương trình tìm \({x_0}\) và viết phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\,\,\left( {{x_0} \ne 3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\,\,\,\left( {x \ne 3} \right)\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 3} \right)}^2}}}\).

Để tiếp tuyến của đồ thị tại \(M\) song song với đường thẳng \(y =  - 2x + 1\) thì

\(\dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {{x_0} - 3} \right)}^2}}} =  - 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{x_0} = 1\end{array} \right.\).

Với \({x_0} = 5\) thì phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2\left( {x - 5} \right) + 7 =  - 2x + 17\) (thỏa mãn).

Với \({x_0} = 1\) thì phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2\left( {x - 1} \right) -1 =  - 2x +1\) (không thỏa mãn).

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.