Câu hỏi
Trong không gian với hệ trục tọa độ . Cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và \(mp\left( P \right):x - 2y + z - 2 = 0\). \(A'\) là hình chiếu vuông góc của A trên \(mp\left( P \right)\). Tọa độ điểm \(A'\) là
- A \(A'\left( {0;2;0} \right).\)
- B \(A'\left( {2;0;0} \right).\)
- C \(A'\left( {1;2;0} \right).\)
- D \(A'\left( {0; - 1;2} \right).\)
Phương pháp giải:
- Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Tham số hóa tọa độ \(A'\) thuộc đường thẳng \(AA'\) theo biến \(t\).
- Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình mặt phẳng tìm \(t\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_{AA'}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Gọi \(A'\left( {1 + t;\,\,2 - 2t;\,\, - 1 + t} \right) \in AA'\). Vì \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên \(mp\left( P \right)\) nên \(A' \in \left( P \right)\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) - 1 + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + t - 4 + 4t - 1 + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)
Vậy \(A'\left( {2;0;0} \right)\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
