Phương pháp giải:

- Đưa hàm số về dạng \(y = g\left( {t + 1} \right) = \left| {2f\left( t \right) + m} \right| = \sqrt {{{\left( {2f\left( t \right) + m} \right)}^2}} \) .

- Tính đạo hàm, giải phương trình \(y' = 0\).

- Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = x - 1\), khi đó ta có \(y = g\left( {t + 1} \right) = \left| {2f\left( t \right) + m} \right| = \sqrt {{{\left( {2f\left( t \right) + m} \right)}^2}} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \dfrac{{2\left( {2f\left( t \right) + m} \right).2f'\left( t \right)}}{{2\sqrt {{{\left( {2f\left( t \right) + m} \right)}^2}} }} = \dfrac{{2\left[ {2f\left( t \right) + m} \right]f'\left( t \right)}}{{\sqrt {{{\left( {2f\left( t \right) + m} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2f\left( t \right) + m = 0\\f'\left( t \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)  

Để hàm số \(y = g\left( {t + 1} \right) = \left| {2f\left( t \right) + m} \right|\) có 5 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(f'\left( t \right) = 0\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( t \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - \dfrac{m}{2}\) phải có 2 nghiệm bội lẻ phân biệt.

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y =  - \dfrac{m}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6 <  - \dfrac{m}{2} \le  - 3\\ - \dfrac{m}{2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 \le \dfrac{m}{2} < 6\\\dfrac{m}{2} \le  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 \le m < 12\\m \le  - 4\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(\left[ { - 12;\,\,12} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - 12; - 4} \right] \cup \left[ {6;12} \right)\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 4;6;7;...;11} \right\}\).

Vậy có 15 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.