Câu hỏi
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên tập số thực \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\). Tính \(I = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \)
- A \(\dfrac{{37}}{6}\)
- B \(\dfrac{{527}}{3}\)
- C \(\dfrac{{61}}{6}\)
- D \(\dfrac{{464}}{3}\)
Phương pháp giải:
- Nhân cả hai vế của phương trình \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\) với \(2x + 3\).
- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế phương trình.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Lời giải chi tiết:
Theo bài ra ta có
\(\begin{array}{l}f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\\ \Rightarrow f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)dx} = \dfrac{{61}}{6}\end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1 \Rightarrow dt = \left( {2x + 3} \right)dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)dx} = \int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \).
Vậy \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{61}}{6}\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
