Phương pháp giải:

- Nhân cả hai vế của phương trình $f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2$ với $2x + 3$.

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế phương trình.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\\ \Rightarrow f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)dx}  = \dfrac{{61}}{6}\end{array}$

Đặt $t = {x^2} + 3x + 1 \Rightarrow dt = \left( {2x + 3} \right)dx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)dx}  = \int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}$.

Vậy $\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{61}}{6}$.

Chọn C.