Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt cạnh \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,P\). Thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).
- A \(V = \dfrac{{32\pi }}{3}\)
- B \(V = \dfrac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\)
- C \(V = \dfrac{{108\pi }}{3}\)
- D \(V = \dfrac{{125\pi }}{6}\)
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(\angle AMC = \angle ANC = \angle APC = {90^0}\) và suy ra khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).
- Xác định bán kính \(R\) của khối cầu.
- Tinh thể tích khối cầu bán kính \(R\): \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow AM \bot MC\).
\( \Rightarrow \angle AMC = {90^0}\) hay điểm \(M\) thuộc mặt cầu đường kính \(AC\).
Chứng minh tương tự ta có \(AP \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AP \bot PC \Rightarrow \angle APC = {90^0}\) hay \(P\) thuộc mặt cầu đường kính \(AC\).
Lại có \(AN \bot SC \Rightarrow \angle ANC = {90^0}\) hay \(N\) thuộc mặt cầu đường kính \(AC\).
Do đó \(CMNP\) nội tiếp khối cầu đường kính \(AC\) hay khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\) có bán kính \(R = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2\).
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.2^3} = \dfrac{{32\pi }}{3}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
