Phương pháp giải:

Tổng có 31 số hạng, nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm có 4 số hạng, còn thừa ba số cuối là \({3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\).

Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là 0.

Vậy chữ số tận cùng của S là chữ số tận cùng của tổng \({3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\).

Tìm chữ số tận cùng của \({3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\) từ đó kết luận S có là số chính phương hay không.

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}S = 1 + {3^1} + {3^2} +  \ldots  + {3^{30}}\\S = \left( {1 + {3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7}} \right) +  \ldots  + \left( {{3^{24}} + {3^{25}} + {3^{26}} + {3^{27}}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\S = \left( {1 + {3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) + {3^4}.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) +  \ldots  + {3^{24}}.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\S = \left( {1 + 3 + 9 + 27} \right) + {3^4}.\left( {1 + 3 + 9 + 27} \right) +  \ldots  + {3^{24}}.\left( {1 + 3 + 9 + 27} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\S = 40 + {3^4}.40 +  \ldots  + {3^{24}}.40 + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\S = 40.\left( {1 + {3^4} +  \ldots  + {3^{24}}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\S = 10.4.\left( {1 + {3^4} +  \ldots  + {3^{24}}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\end{array}\)

Ta thấy \(4.10.\left( {1 + {3^4} +  \ldots  + {3^{24}}} \right)\) có tận cùng là 0.

\(\begin{array}{l}{3^{28}} = {3^{4.7}} =  \ldots 1\\{3^{29}} = {3^{28}}.3 =  \ldots 1 \times 3 =  \ldots 3\\{3^{30}} = {3^{28}}{.3^2} =  \ldots 1 \times 9 =  \ldots 9\end{array}\)

Tổng S có tận cùng là: \(0 + 1 + 3 + 9 =  \ldots 3\).

Số chính phương không có tận cùng bằng \(3\) suy ra S không phải là số chính phương.

Chọn B.