Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}}\) ta có:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \) \( \Rightarrow x =  - 1\) là 1 TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \) \( \Rightarrow x = 2\) là 1 TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 1\) \( \Rightarrow y = 1\) là 1 TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn C.