Phương pháp giải:

Ta có hình vẽ thể hiện quỹ đạo dao động và vị trí ban đầu của dao động:

Viết các phương trình dao động, vận tốc, gia tốc và xác định tích a.v = 0 tại các thời điểm nào.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ thể hiện quỹ đạo dao động và vị trí ban đầu của dao động:

Ta có các phương trình dao động, vận tốc, gia tốc là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = A.\cos \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
v = x' = - \omega A.\sin \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
a = v' = - {\omega ^2}.A.\cos \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)
\end{array} \right.\)

Ta có tích a.v là

\(\begin{array}{l}
a.v = {\omega ^3}.{A^2}.\sin \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right).\cos \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = {\omega ^3}.{A^2}.\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \sin 0} \right]\\
a.v = \frac{1}{2}.{\omega ^3}.{A^2}.\sin \left( {2\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sin \left( {2\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\omega t - \frac{{4\pi }}{3} = k\pi \Rightarrow t = k\frac{T}{4} + \frac{T}{3}
\end{array}\)

Với điều kiện t > 0 nên ta lấy các giá trị k = - 1,0,1,2…..

Vậy tích a.v = 0 lần thứ 3 ứng với k = 1, ta có  \(t = \frac{T}{4} + \frac{T}{3} = \frac{{7T}}{{12}}\)

Chọn D.