Phương pháp giải:

- Trong \(\left( {SBC} \right)\) dựng \(SH \bot BC\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(BH\), từ đó tính \(CH\).

- Đổi tính \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)\) sang tính \(d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\), trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\). Chứng minh \(HK \bot \left( {SAC} \right)\)

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(HK\).

Lời giải chi tiết:

Trong \(\left( {SBC} \right)\) dựng \(SH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

+ \(HB \cap \left( {SAC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{HC}}{{BC}}\).

+ \(BH = SB.\cos {30^0} = 3a\), \(BC = 4a \Rightarrow HC = a\).

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{a}{{4a}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\), trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HM\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AC \bot HK\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(BN \bot AC\,\,\left( {N \in AC} \right)\) \( \Rightarrow BN\parallel HM\).

+ \(\Delta ABC:\,\,BN = \dfrac{{AB.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{3a.4a}}{{\sqrt {3{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{12a}}{5}\).

+ \(BN\parallel HM \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{BN}} = \dfrac{{HC}}{{BC}} = \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{4}BN = \dfrac{{3a}}{5}\).

+ \(\Delta SBH:\,\,SH = SB.\sin {30^0} = a\sqrt 3 \).

+ \(\Delta SHM:\,\,HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{3a}}{5}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{{25}}} }} = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{6a\sqrt 7 }}{7}\).