Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác:  $\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Vì $\alpha$ là góc nhọn nên $\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  > 0,\,$$\,\tan \alpha  > 0,\,\,\cot \alpha  > 0.$

$\sin \alpha  = \frac{1}{6}$

*${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{{36}} = \frac{{35}}{{36}}$$\Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt {35} }}{6}$

*$\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{6}:\frac{{\sqrt {35} }}{6} = \frac{1}{{\sqrt {35} }} = \frac{{\sqrt {35} }}{{35}}.$

*$\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{\sqrt {35} }}{{35}} = \sqrt {35} .$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác:  $\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Vì $\alpha$ là góc nhọn nên $\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  > 0,\,$$\,\tan \alpha  > 0,\,\,\cot \alpha  > 0.$

$\tan \alpha  = \frac{7}{3}$

* $\tan \alpha .\cot \alpha  = 1$$\Leftrightarrow \cot \alpha  = 1:tan\alpha  = 1:\frac{7}{3} = \frac{3}{7}$

* $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{58}}{9}$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{9}{{58}}$$\Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{3\sqrt {58} }}{{58}}$

*${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow \frac{9}{{58}} + {\sin ^2}\alpha  = 1$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{58}} = 58$$\Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{7\sqrt {58} }}{{58}}$

Chọn B.