Phương pháp giải:

- Trong (ABC) kẻ \(GE\parallel BC\,\,\left( {E \in AC} \right)\). Chứng minh \(AC \bot \left( {SGE} \right)\).

- Trong (SGE) kẻ \(GH \bot SE\) \(\left( {H \in SE} \right)\), chứng minh \(GH \bot \left( {SAC} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

+ Trong (ABC) kẻ \(GE\parallel BC\,\,\left( {E \in AC} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}GE\parallel BC\\AC \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GE \bot AC\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot GE\\AC \bot SG\,\,\left( {SG \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {SGE} \right)\).

Trong (SGE) kẻ \(GH \bot SE\,\,\left( {H \in SE} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}GH \bot SE\\GH \bot AC\,\,\left( {AC \bot \left( {SGE} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow GH \bot \left( {SAC} \right)\).

\( \Rightarrow {d_{\left[ {G;\left( {SAC} \right)} \right]}} = GH\).

+ Tam giác ABC vuông cân tại C có AB = 3a \( \Rightarrow AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\).

Gọi M là trung điểm của BC. Áp dụng định lí Ta-lét:

\(\dfrac{{GE}}{{MC}} = \dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow GE = \dfrac{2}{3}MC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3a}}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

+ \(\Delta SGE\): \(GH = \dfrac{{SG.GE}}{{\sqrt {S{G^2} + G{E^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({d_{\left[ {G;\left( {SAC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).