Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) chuyển biểu thức thành \(A = {\left( {a - b} \right)^2} + m \ge m\,\,\,\forall x\) (\(m\) là hằng số). Khi đó, \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - b = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = 4{x^2} - 4x + 2021\)\( = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x + 1 + 2020\)\( = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020\)

Vì \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020 \ge 2020\,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow A \ge 2020\,\,\,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2020\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)

Chọn D.