Phương pháp giải:

Biến đổi: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) + 10} \end{array}\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Khi đó, \(A\) trở thành:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {y\left( {y + 3} \right) + 10}  = \sqrt {{y^2} + 3y + 10} \\\,\,\,\, = \sqrt {{y^2} + 2.y.\frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{{31}}{4}}  = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}} \end{array}\)

Vì \({\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall y \Rightarrow {\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\,\,\,\forall y\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}  \ge \frac{{\sqrt {31} }}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow y =  - \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 3x =  - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.3 + 9 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = \sqrt 6 \\2x + 3 =  - \sqrt 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 6 }}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy GTNN của \(A\) là \(\frac{{\sqrt {31} }}{2}\)  khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 6 }}{2}.\)

Chọn D.