Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông tương ứng để tính độ dài các cạnh.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(M\) là trung điểm \(AB\)

\( \Rightarrow HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\)

\( \Rightarrow HM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow AB = 2HM = 2.15 = 30\,\,\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(N\) là trung điểm \(AC\)

\( \Rightarrow HN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\)

\( \Rightarrow HN = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow AC = 2HN = 2.20 = 40\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(HC = BC - BH = 50 - 18 = 32\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn D.