Phương pháp giải:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = {x^2} + 1\), sau đó sử dụng phương pháp từng phân.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \)

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\dfrac{1}{t}dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \left( {17 - 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c =  - 8\).

Vậy \(T = a + b + c = 17 + 2 + \left( { - 8} \right) = 11.\)

Chọn D.