Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính độ dài đường cao và cạnh đáy tương ứng của tam giác \(IBC\), từ đó tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {7^{x + 1}}\,\,\left( {t > 0} \right)\), ứng với mỗi giá trị của \(t\) cho 1 giá trị của \(x\) tương ứng, do đó để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình \(f\left( t \right) - \dfrac{{{m^2} - 1}}{8} = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{{m^2} - 1}}{8}\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình .\(f\left( t \right) = \dfrac{{{m^2} - 1}}{8}\). có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \( - 1 < \dfrac{{{m^2} - 1}}{8} < 1 \Leftrightarrow  - 8 < {m^2} - 1 < 8\)\( \Leftrightarrow  - 7 < {m^2} < 9\) \( \Leftrightarrow  - 3 < m < 3\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.