Phương pháp giải:

- Tìm giao điểm $P$ của $SC$ và $\left( {AMN} \right)$, chứng minh $SP \bot \left( {AMN} \right)$.

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$, trong $\left( {SBD} \right)$ gọi $E = MN \cap SO$.

Trong $\left( {SAC} \right)$ kéo dài $AE$ cắt $SC$ tại $P$, khi đó ta có $\left( {AMN} \right) \cap SC = P$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$.

          $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AN \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$ $\Rightarrow AM \bot SC$.

Chứng minh tương tự ta có $AN \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AN \bot SC$.

$\Rightarrow AC \bot \left( {SMN} \right)$ tại $P$.

Do đó $PM$ là hình chiếu của $SM$ lên $\left( {AMN} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {AMN} \right)} \right) = \angle \left( {SM;\left( {AMN} \right)} \right) = \angle \left( {SM;PM} \right) = \angle SMP$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có: $SM = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $SP = \dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} }} = a$.

Xét tam giác $SMP$ vuông tại $P$ có $\sin \angle SMP = \dfrac{{SP}}{{SM}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow \angle SMP = {60^0}$.

Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ và đường thẳng $SB$ bằng ${60^0}$.

Chọn D.