Phương pháp giải:

- Biến đổi lượng giác: \(\dfrac{1}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\).

- Tách thành 2 tích phân, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C\) và phương pháp đổi biến.

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng \(a + b + c\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\dfrac{1}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}}}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\ \Leftrightarrow I = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \({I_1} =  - \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}}  = \left. {\dfrac{1}{t}} \right|_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} - 1 = \dfrac{{2\sqrt 3  - 3}}{3}\).

Vậy \(I = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{{2\sqrt 3  - 3}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3  - 2\sqrt 3  + 3}}{3} = \dfrac{{ - \sqrt 3  + 3}}{3}\)

Mà \(I = \dfrac{{a\sqrt 3  + b}}{c} \Rightarrow a =  - 1;\,\,b = 3;\,\,c = 3.\)

Vậy \(a + b + c =  - 1 + 3 + 3 = 5.\)

Chọn D.