Câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)cho mặt cầu có phương trình :\(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0.\)\(\left( {{S_m}} \right)\) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi \(m\) là:
- A \(m = 0.\)
- B \(m = \dfrac{1}{2}.\)
- C \(m = - 1.\)
- D \(m = - \dfrac{3}{2}.\)
Phương pháp giải:
- Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
- Tìm GTNN của biểu thức, đưa về hằng đẳng thức hoặc sử dụng phương pháp hàm số.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\) có bán kính
\(\begin{array}{l}R = \sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - m} \right)}^2} - {m^2} - 4m} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \end{array}\)
Vậy mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) có bán kính nhỏ nhất \(R = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
