Phương pháp giải:

Xét \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\) ta có:

+) Trục lớn: \({A_1}{A_2} = 2a\)

+) Trục bé: \({B_1}{B_2} = 2b\)

+) Tiêu cự: \({F_1}{F_2} = 2c,\,\,\,{c^2} = {a^2} - {b^2}.\)

+) Tâm sai: \(e = \frac{c}{a}.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử elip \(\left( E \right)\) được viết dưới dạng:  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Trục lớn: \(A{}_1{A_2} = 2a\)

Trục nhỏ: \(B{}_1{B_2} = 2b\)

Theo bài ra, ta có: \({A_1}{A_2} = 3{B_1}{B_2} \Rightarrow 2a = 2.3b\)\( \Rightarrow a = 3b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta lại có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = {\left( {3b} \right)^2} - {b^2} = 8{b^2}\)\( \Rightarrow c = 2b\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2b\sqrt 2 }}{{3b}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy \(e = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \cdot \)

Chọn  D.