Phương pháp giải:

- Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {x^2} - x + 2019\), tính đạo hàm hàm số \(g\left( x \right)\).

- Tìm nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số \(y = g\left( x \right)\) là điểm mà qua đó \(g'\left( x \right)\) đổi dầu từ dương sang âm (từ âm sang dương).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {x^2} - x + 2019\), khi đó ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2x - 1\).

Xét \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2x + 1\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2x + 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(x = 0\) là nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) và qua nghiệm \(x = 0\) thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm.

(\(g'\left( x \right) > 0\) khi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(g'\left( x \right) < 0\) khi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = 2x + 1\)).

Vậy \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {x^2} - x + 2019\).

Chọn A.