Phương pháp giải:

\(P\) xác định thì tìm điều kiện mẫu thức khác 0, sau đó rút gọn \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Để \(P\) xác định thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\1 - x \ne 0\\{x^2} - x \ne {\rm{0}}\\\frac{x}{{x - 1}} \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x + 1}}{x} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{{x^2} - x}}} \right):\frac{x}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + x + 2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{x}\\\,\,\,\, = \frac{{{x^2} - 1 + x + 2 - {x^2}}}{{{x^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất \(\left| {f\left( x \right)} \right| = a\,\,\,\,\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\\f\left( x \right) =  - a\end{array} \right. \Rightarrow x\).

Kiểm tra xem \(x\) vừa tìm thỏa mãn điều kiện xác định của \(P\) hay không. Thay \(x\) vừa tìm được vào \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\left| {2x - 1} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 3\\2x - 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với \(x = 2 \Rightarrow P = \frac{{2 + 1}}{{{2^2}}} = \frac{3}{4}.\)

+) Với \(x =  - 1 \Rightarrow P = \frac{{ - 1 + 1}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = 0.\)

Vậy với \(x = 2\) thì \(P = \frac{3}{4},\) \(x =  - 1\) thì \(P = 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\) sau đó sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 0,\,\,x \ne 1.\)

Vì \(x \ne 0\) nên ta chia cả tử và mẫu cho \({x^2}.\)

\( \Rightarrow P = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{x}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}\)\( = \frac{1}{{{x^2}}} + 2.\frac{1}{x}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\)\( = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge \frac{{ - 1}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{1}{4}\) khi \(x =  - \frac{1}{2}.\)

Chọn B.