Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

+) Đưa về hằng đẳng thức và đánh giá.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2 = 1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2 =  - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3 =  - {\left( {\sin x - 1} \right)^2} + 4\)

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le \sin x - 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le {\left( {\sin x - 1} \right)^2} \le 4\)

\( \Leftrightarrow  - 4 \le  - {\left( {\sin x - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow 0 \le  - {\left( {\sin x - 1} \right)^2} + 4 \le 4\) Hay \(0 \le y \le 4\)

Chọn C.