Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Nêu điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

- Giải điều kiện tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(mx + 1 = {x^3} - 3x + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 3x - mx = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3 - m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m + 3\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại \(3\) điểm phân biệt thì \(\left( * \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)

\( \Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3\).

Chọn A.