Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Giả sử tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại các điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right)\,\,\,\left( {a > 0,\,\,b > 0} \right).\)

Khi đó ta có: \(d:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + ay - ab = 0.\)

Lại có: \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = \sqrt 5 \)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Giả sử tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại các điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right)\,\,\,\left( {a > 0,\,\,b > 0} \right).\)

Khi đó ta có: \(d:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + ay - ab = 0.\)

Theo đề bài ta có: \({S_{AOB}} = 4\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab = 4 \Leftrightarrow ab = 8 \Leftrightarrow b = \frac{8}{a}.\)

Lại có: \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = \sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {b - a - ab} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {b - a - 8} \right| = \sqrt {5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 16a - 16b + 64 = 5{a^2} + 5{b^2}\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 16 - 16a + 16b - 64 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 4b - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 16 - 4\left( {a - b} \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} - 4\left( {a - b} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - b - 2 = 0\\ \Leftrightarrow a - \frac{8}{a} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {a - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 0\\a - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 4\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow b = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow d:\,\,\,2x + 4y - 8 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0.\end{array}\)

Chọn D.