Câu hỏi
Cho biểu thức: \(A = \frac{{x + 24}}{{x - \sqrt x - 2}}:\left| {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right|.\) (với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\)).
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \(A.\)
- A \(+)\,\,0\leq x < 4:\,\,A = - \frac{x + 24}{\sqrt{x} + 1}\) \(+)\,\, x > 4,\,\, x \ne 9:\,\,A = \frac{x + 24}{\sqrt{x} + 1}\)
- B \(+)\,\,0\leq x < 4:\,\,A = \frac{x + 24}{\sqrt{x} + 1}\) \(+)\,\, x > 4,\,\, x \ne 9:\,\,A = - \frac{x + 24}{\sqrt{x} + 1}\)
- C \(A = - \frac{x + 24}{\sqrt{x} + 1}\)
- D \(A = \frac{x + 24}{\sqrt{x} + 1}\)
Phương pháp giải:
Phân tích thành nhân tử và phá dấu giá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{x + 24}}{{x - \sqrt x - 2}}:\left| {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right|\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 24}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\left| {\frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right|\\\,\,\,\, = \frac{{x + 24}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\left| {\frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right|\\\,\,\,\, = \frac{{x + 24}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\left| {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right|\\\,\,\,\, = \frac{{x + 24}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\left| {\frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right|.\end{array}\)
+) Với \(0 \le x < 4:\) \(A = \frac{{x + 24}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{1}{{2 - \sqrt x }} = - \frac{{x + 24}}{{\sqrt x + 1}}.\)
+) Với \(x > 4,x \ne 9:\) \(A = \frac{{x + 24}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 24}}{{\sqrt x + 1}}.\)
Chọn A.
Câu 2:
Tìm \(x\) để biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- A \(x = 1\)
- B \(x = 0\)
- C \(x = 2\)
- D \(x = 3\)
Phương pháp giải:
Chia trường hợp và tìm giá trị nhỏ nhất trong mỗi trường hợp rồi so sánh.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy với \(x > 4,x \ne 9\) thì \(A = \frac{{x + 24}}{{\sqrt x + 1}} > 0.\)
Với \(0 \le x < 4:\)\(A = - \frac{{x + 24}}{{\sqrt x + 1}} = - \left( {\frac{{x + 24}}{{\sqrt x + 1}} - 24} \right) - 24\)\( = - \left( {\frac{{x - 24\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right) - 24 = - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 24} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - 24.\)
Do \(0 \le x < 4\) nên \(\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 24} \right)}}{{\sqrt x + 1}} \le 0 \Rightarrow A \ge - 24.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \( - 24,\) dấu bằng xảy ra khi \(x = 0.\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
