Phương pháp giải:

* Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó,  \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

* Công thức thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Lời giải chi tiết:

Trên các cạnh SB, SC lần lượt lấy B’, C’ sao cho \(SB' = SC' = SA = a\)

Lại có:  \(\angle {\rm{AS}}B' = \angle B'SC' = \angle C'SA = {60^0}\)\( \Rightarrow SAB'C'\) là tứ diện đều cạnh a \( \Rightarrow {V_{SAB'C'}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.\,AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{a}{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}.\dfrac{a}{{2{\rm{a}}\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{6\sqrt 6 }}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 6\sqrt 6 .{V_{S.AB'C'}} = 6\sqrt 6 .\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = {a^3}\sqrt 3 .\)

Chọn C.